【中2数学】1次関数の式を求め方と練習問題

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今回は、大切な単元である1次関数(直線)の式を求める問題について、入試においても、直接的、間接的のいずれかで100%出題されるところですので、完全理解が求められます。大きく4つのパターンに分けられますね。

1次関数(直線)の式を求める下準備

1次関数の式、つまり直線の式(直線の方程式)は、式で表すとy=ax+bと表せます。

  • a=傾き=変化の割合=yの増加量/xの増加量
  • b=切片=(0,b)=xが0のときのyの値
  • 1次関数の場合、変化の仕方が一定なので、傾き=変化の割合でしたね。すなはち、yの増加量/xの増加量。これは、ダイヤグラムの問題において、(平均の)速さ=yの増加量(距離)/xの増加量(時間)となっていることもおさえておきましょう。
  • 関数において、「平行であること」は、「傾きが同じ」であることがいえます。
  • 点(1,5)とは、x=1、y=5であることの意味です。
  • 「8減少」とは「-8増加」という意味で、「減少」を「増加」の言葉に直すときは符号が変わります。

1次関数(直線)の式を求める下準備

それでは、大きく4つのパターンを見ていきましょう

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傾きと切片またいずれかが分かっている場合

(例題1)切片1、傾き4である1次関数の式を求めよ。

(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。切片1、傾き4とあるので、b=1、a=4と置き換えられるでy=4x+1が答えとなります。

(例題2)点(1,5)を通り、傾き4である1次関数の式を求めよ。

(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、傾きが4ですので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

傾きの言い換えまたは、傾きを求めさせる

(例題3)変化の割合が4で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。

(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、変化の割合=傾きが4ですので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

(例題4)xの値が2増加すると、yの値が8増加し、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。

(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、xの値が2増加すると、yの値が8増加とあるので、変化の割合=yの増加量/xの増加量より、8/2=4となり、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

(例題5)y=4x+12と変化の割合が等しく、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。

(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、y=4x+12と変化の割合が等しく、つまり、傾きが4であるので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

2つの座標がわかっているとき

(例題6)2点(1,5)、(3,13)を通る1次関数の式を求めよ。
(例題7)x=1のときy=5、x=3のとき、y=13を通る1次関数の式を求めよ。

(解説)例題6.7はまったく同じ意味ですね。例題6は、座標で表してあり、例題7は、それを言葉で表しているだけです。1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。2点(1,5)、(3,13)から、xが2増加すると、yが8増加していることから変化の割合は4、つまり傾きは、4であるので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

点(3,13)を代入してもかまいませんが、数字が小さな組の方が計算しやすいですね。また、2点(1,5)、(3,13)をそれぞれy=ax+bに代入して、連立方程式を求めてもかまいません。

平行というキーワードがある

(例題8)y=4x+12のグラフと平行で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。

(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、y=4x+12のグラフと平行とありますので、関数において、「平行であること」は、「傾きが同じ」となり、傾きが4ですので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

まとめ

(例題1)切片1、傾き4である1次関数の式を求めよ。
(例題2)点(1,5)を通り、傾き4である1次関数の式を求めよ。
(例題3)変化の割合が4で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(例題4)xの値が2増加すると、yの値が8増加し、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(例題5)y=4x+12と変化の割合が等しく、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(例題6)2点(1,5)、(3,13)を通る1次関数の式を求めよ。
(例題7)x=1のときy=5、x=3のとき、y=13を通る1次関数の式を求めよ。
(例題8)y=4x+12のグラフと平行で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。

いずれも、同じ直線の式を求めていることが理解できるがポイントです。結局のところ、1次関数は、代入・置き換えゲームということが言えるでしょう。分数が出題されたときは、特に気をつけて計算しましょう。そして、座標が平方根でも同じなので、知っておいてください。座標に平方根(√)があってもいいのです。

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