平成29年度福岡県公立高校入試数学大問6空間図形の解説

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今回は、平成29年度福岡県公立高校入試数学問題大問6空間図形の解説となります。今年は、大問3、大問4、大問5とここ2.3年と比べると易しくなっていたので、今年一番難易度の高かった大問6(3)の問題に十分時間をかけることができたのではないでしょうか。

数学大問6の解説

(1)(2)は、パターンで解けてしまうので、確実に正解したいところでした。大問5や6で(1)~(3)まであるとき、(1)(2)は極端に易しいのは、福岡県の最大の特徴であり、七不思議です。

(1)は、ねじれの位置・直線と平面の位置関係の理解を見る問題でしたね。
(2)は、【高校入試・数学】正多角形への解法テクニックなど標準的なパターンの練習をしておけば、単なる計算問題と同様になります。立式して、計算するだけです。

今回は、1番難しかった(3)を解説していきます。

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大問6(3)問題

図1は、底面ABCDEFが1辺の長さ4cmである正六角形で、側面がすべて合同な長方形の六角柱ABCDEFGHIJKLを表しており、AG=6cmである。(3)図1に示す立体において、点Dと点Kを結び、線分DK上に点Rを△ADRと四角形BCJGの面積比が1:2になるようにとる。このとき、線分DRの長さを求めよ。

数学問題

平成29年度福岡県公立高校入試問題数学大問6

  • 等脚台形の性質の利用
  • 等積変形の利用
  • 面積比の利用

大問6(3)解説

等脚台形
四角形BCJGは等脚台形より、図3のようになり、仮定、等脚台形の性質、三平方の定理により必要な線分の長さを求め、面積は24√3となります。

つまり、今回の問題は、△ADRの面積が12√3となるときの線分DRの長さを求めればよいことになります。

三角形
また△KADは、等積変形(図4参照)より、△KAD=△PAD=△LADとなる。△PADの面積は、図1の赤で引いた直角三角形を利用して、PQの長さを三平方の定理で求めると4√3のことから、8×4√3÷2=16√3

よって、△ADR:△KAD=3:4のことから、線分RD,KDを底辺と見たとき、高さが共通しているのでRD:KD=3:4(図5参照)となる。よって、RD=KD×3/4=2√13×3/4=3√13/2(2分の3ルート13)が答え。(KD=BG=2√13)

大問5の解説はこちら 平成29年(2017)福岡県公立高校入試の大問5平面図形の解説

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