今回は、入試でも頻出度の高い定理の1つである角の二等分線定理です。内角の二等分線定理は、教科書に記載されており、活用できる人も多いと思います。できれば、外角の二等分線定理まで使いこなせるといいですね。
角の二等分線定理のポイント
内角の定理については、証明までできるといいです。たまに、定期テストでは出題される学校もあります。
内角の角の二等分線定理の証明
Ｃを通りＡＤに平行な直線がＢＡの延長と交わる点をＥとする。
ＡＤ//ＥＣより
∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ（錯角）…①
∠ＢＡＤ＝∠ＡＥＣ（同位角）…②
ここで、∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＤだから
①②より∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ
よって△ＡＣＥは二等辺三角形となり、ＡＥ＝ＡＥ…③
だからＢＤ：ＣＤ＝ＢＡ：ＡＥ…④
③④よりａ：ｂ＝ｘ：ｙ
角の二等分線定理の練習問題
（1）図のように，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍの長方形ＡＢＣＤがあり，∠Ｂの二等分線とＣＤの延長との交点をＥとする。また，ＢＥとＡＣ，ＡＤとの交点をそれぞれＰ，Ｑとする。このとき，ＤＥとＣＰの長さをそれぞれ求めなさい。
（2）図のように、AB＝3ｃｍ、BC＝4ｃｍ、CA＝2ｃｍの△ABCと∠BACの二等分線ｌがある。点B,Cから直線ｌに垂線をひき、それぞれの交点をD、Eとする。また、直線ｌがBCおよび△ABCの外接円と交わる点をそれぞれF、Gとする。次の問いに答えよ。BDとCEの長さの比を求めよ。
（3）図のように、ＡＢ＝8ｃｍ、ＢＣ＝12ｃｍ、ＡＣ＝15ｃｍの平行四辺形ＡＢＣＤがある。∠Ｂの二等分線と辺ＣＤの延長との交点をＥとし、ＢＥとＡＤ、ＢＥとＡＣとの交点をそれぞれ、Ｆ、Ｇとする。ＡＧ：ＡＣをもっとも、簡単な整数の比で表せ。
（4）図のようには、AB＝8、AC＝6、∠BAC＝60°の△ABCがある。∠BACの二等分線と辺BCの交点をD、点Cを通りADに平行な直線と辺BAの延長の交点をEとする。BD：DCをできるだけ簡単な整数比で表しなさい。
角の二等分線定理の解答
（1）ＤＥ＝2 ＣＰ＝40/7 （2）3：2 （3）2：5 （4）4：3
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