平成28(2016)年度福岡県公立入試数学空間図形の解説

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難易度は、例年通り。今回は、大問6の解説をしてみようと思います。いい数学の先生に出会っていれば、間違いなく筑前高校以上を志望した生徒なら48点(60点満点)以上は突破できたはずです。修猷館、城南高校志望者なら満点合格も狙えた問題だっと言えます。

第6学区の主な高校の数学における合否の境目

  • 修猷館高校 大問6(3)あとは、全問正解が必須。
  • 城南高校  大問6(3)あとは、1問ミスで乗り切りたい。
  • 中央高校  大問4(3)あとは、2問ミスで乗り切りたい。
  • 筑前高校  大問4(3)あとは、3問ミスで乗り切りたい。
  • 西陵・福岡工業高校  大問4(2)あとは、4問ミスで乗り切りたい。
  • 福岡講倫館高校 大問2 あとは、大問1、大問4(1)、大問6(1)は全問正解が必須。
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数学が苦手な子にとっての今年の数学

数学苦手な子は、大問3.5でなかなか得点ができなかったのではないでしょうか。数学が苦手な子は、厳しい入試だったかもしれません。一方で、数学が得意な子は、満点合格も続出しそうです。他の教科は、難易度がバランスよく出題されているのに対し、数学は、正答率のバランスが極端で、今年は、数学で、合否が分かれることが多くなりそうです。佐賀県の数学のように、たとえば、関数や図形も(1)~(5)まで出題し、正答率がバランスよく(1)90%(2)75%(3)50%(4)25%(5)10%前後などのようにするなど、工夫の余地が残されていると感じています。

平成28(2016)年度福岡県公立入試数学 大問6

下図は、正四面体と三角柱を合わせた形で、正四面体は1辺4cm、三角柱の側面の側面はすべて合同な図形である。
平成28年問題6
(1)図に示す立体において、辺CDとねじれの位置にある辺は全部で何本あるか答えよ。
(2)図に示す立体において、辺BC上に点H、辺AC上に点Iを、EH+HI+IDの長さが最も短くなるようにとる。BE=√3のとき、EH+HI+IDの長さを求めよ。
(3)図に示す立体において、辺CD、DBの中点をそれぞれJ、Kとする。点Aと点Kを結び、点Jを通り線分AKに垂直な直線と線分AKとの交点をLとする。三角すいLBJDの体積は、正四面体ABCDの体積の何倍か。

平成28年(2016)度福岡県公立入試数学 解説

(1)はねじれなので、ねじれの位置(直線と平面の位置関係)を参照。よって、4本。

(2)最短距離は、必要なところの展開図を書き、直線を求める。多くの問題は、三平方の定理で求める。今回も、三平方の定理でした。
平成28年6-1
よって、3√7

※余談ですが、私が教えた数学が苦手な生徒(カタコトでなく、出張講義や質問してくれたウェビナーの生徒)の中には、山勘で正解した人も多かったです。からくりは、こうです。

どうしてもわからないとき、問題文を読んで

  • 60°がわかったらor出てたら、 ○√3 (垂線の場合は、○√11のときも)
  • 45°、135°がわかったらor出てたら ○√2
  • 直角をはさむ辺の長さが1:2であれば ○√5
  • その他 ○√7

√の中は、素数しかないのと、√13、√17の問題を作成するのは難しく、途中式が複雑になる傾向があるので、上記のパターンになりやすいのです。今回は、与えられた長さ4cmなので、それらしい数字の3√7となったわけです。√7は、約2.5と思ってといいと言っていますので、3√7は、約7cmちょっと。4√7ではちょっと長いですし、2√7では、短すぎます。

(2)ポイントは、体積比だからといって、それぞれの体積を求めないでいいということ。
体積比=底面積の比 × 高さの比 のことを知っていれば、そこまで時間がかかりません。

ポイントは、高さの比が求められるかどうか!比なので、相似を使いましょう。

ポイントは、高さの比が求められるかどうか!比なので、相似を使いましょう。

相似や2方面シリーズなどでKL:AE=赤:緑を導きましょう。

相似や2方面シリーズなどでKL:AE=赤:緑=1:6を導きましょう。

三角すいLBJDの底面積を1、高さを1とすると

体積比     =   底面積の比    ×    高さの比
正四面体ABCD  =     2      ×     6     =12
三角すいLBJD  =      1      ×     1     =1
\[
よって \frac{1}{12}
\]

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