【中3数学】2次方程式を解くポイント

スポンサーリンク

2次方程式の解法は4つのパターン

2次方程式の解き方は、全部で大きく4つのパターンなります。(1)平方根を利用(2)因数分解を利用(3)解の公式の利用(4)平方完成の利用に分かれます。

スポンサーリンク

(1)平方根を利用

【ことば】36の平方根は±6
【式】±√36は±6

これを方程式で表すと
【方程式】x2=36 よってx=±6
2乗つまり、2次式の方程式となっているので、2次方程式と言います。

【ことば】36の平方根は±6を【方程式】としてx2=36 よってx=±6 解いているので、平方根を利用して、2次方程式を解いていることになりますね。

平方根を利用して解くときのポイント

(1)数字は右辺に移項する。
(2)xの係数は1にする。

<例題>
2x2-72=0 …(1)数字は右辺に移項する。
2x2=72 …(2)xの係数は1にする。
2=36 …平方根を利用する。
x=±6

(2)因数分解を利用

まず、次の方程式を見てください。
(x-3)(x+5)=0
(x-3)をA、(x+5)をBとすると
A×B=0となります。
AとBをかけて、0にならないといけないので、

A=0のときを考えると 
x-3=0
x=3

B=0のときを考えると
x+5=0
x=-5

よって、x=3、-5となります。(かっこの中の符号をかえただけですね。)

(x-3)(x+5)=0
は、左辺を展開すると
2+2x-15=0ですね。2次方程式となっています。

「x2+2x-15=0を解きなさい」とくれば、
因数分解を利用して、
(x-3)(x+5)=0として解けばいいですね。

因数分解を利用するときのポイント

(1)xの項があるときに使う。 (2x2-72=0は、xの項がなく、x2の項しかないので、平方根の利用)
(2)x2の項、xの項、数字=0の順に並べ替える。(移項)
(3)xの係数は1にする。
(4)因数分解を利用して解く。

<例題>
2x2+4x=30  …x2の項、xの項、数字=0の順に並べ替える。(移項)
2x2+4x-30=0 …xの係数は1にする。(この場合は、2で全て割ればいいですね)
2+2x-15=0 …因数分解を利用して解く。
(x-3)(x+5)=0
x=3、-5

(3)解の公式を利用

2-3x-15=0のように、因数分解が利用できないときに、解の公式を利用します。

<解の公式>
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}
\]

2-3x-15=0では、a=1、b=-3、c=-15なので、それぞれ代入して解きます。

(4)平方完成の利用

2+10x-8=0も、因数分解が利用できないときに、解の公式を利用してもかまいませんが、この問題は、a=1、b=偶数なので、平方完成を利用した方が、解にたどり着くまでが早く、計算のミスが減ります。

平方完成の利用の解法の手順

(1)数字は、右辺に移項
(2)両辺にxの係数を2で割って、2乗した数を加えます。
(3)左辺を因数分解をする。(  )2になります。
(3)平方根を利用して解きます。

<例題>
2+10x-8=0 …数字は、右辺に移項
2+10x=8 …両辺にxの係数を2で割って、2乗した数を加えます
2+10x+25=8+25 …25は、xの係数10を2で割って、2乗した数。
(x+5)2=33
x+5=±√33
x=-5±√33

スポンサーリンク
トップへ戻る