【中3数学】接弦定理のポイント解説と練習問題

今回は、接弦定理に学んだあと、相似と円の総合問題の典型問題を扱います。角の二等分線の定理、接弦定理などを1行問題でなく、実践問題の中で使えるかがポイントです。

接弦定理のポイント

「円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある孤に対する円周角に等しい。」という定理です。

同じ色どうしが、接弦定理により等しいというわけです。

• 円の弦ＡＢが接線ＡＴと接点Ａで交わっているとき、∠ＢＡＴのことを接線と弦が作る角といいます。同様に弦ＡＰが接線ＡＴと接点Ａで交わっているとき、∠ＰＡＴのことを接線と弦が作る角といいます。
• 右の図のように、鈍角の場合も成り立ちます。さらには、直角でも成り立つので注意が必要です。

＜証明＞
上の左の図において∠ＢＡＴ＝∠ＡＰＢが等しいことを証明すると
直径ＡＤをひくと、∠ＤＡＴ＝90°だから
∠ＢＡＴ＝90°-∠ＢＡＤ
△ＡＢＤは∠ＡＢＤ＝90°の直角三角形になるから、
∠ＡＤＢ＝180°-（90°＋∠ＢＡＤ）＝90°-∠ＢＡＤ
よって、∠ＢＡＴ＝∠ＡＤＢ　…①
また、弧ＡＢに対する円周角は等しいから、
∠ＡＤＢ＝∠ＡＰＢ　…②
①②より、∠ＢＡＴ＝∠ＡＰＢ

接弦定理の練習問題

下の図のように、円Ｏ上に点Ａにおける接線ＡＴを引く。∠ＴＡＢ＝∠ＡＰＢ＝60°になる円Ｏ上の点Ｂをとると、ＡＢ＝10√3 ｃｍとなった。また、点Ｐが、点Ａ、Ｂを除く弧ＡＢ上を動くとき、∠ＡＰＢの2等分線と辺ＡＢの交点をＱとする。このとき、次の各問いに答えよ。

1. ∠ＡＰＱの大きさを求めなさい。
2. 円Ｏの半径を求めなさい。
3. △ＰＡＢの面積が最大になるときの面積を求めなさい。
4. ＰＡ：ＰＢ＝2：3のとき、ＡＱの長さを求めなさい。

接弦定理の練習問題の解説・解答

高校入試において、相似と円の総合問題は、よく出題される形式で、福岡県公立入試に限れば、最近はこのカタチが流行りです。出題パターンは限られており、問題作成者も四苦八苦しているのが垣間見れる状況です。ここは、九九を解くように、解けるようになるまで、問題量をこなしていきましょう。