【中3数学】接弦定理のポイント解説と練習問題

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今回は、接弦定理に学んだあと、相似と円の総合問題の典型問題を扱います。角の二等分線の定理、接弦定理などを1行問題でなく、実践問題の中で使えるかがポイントです。

接弦定理のポイント

「円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある孤に対する円周角に等しい。」という定理です。
接弦定理
同じ色どうしが、接弦定理により等しいというわけです。

  • 円の弦ABが接線ATと接点Aで交わっているとき、∠BATのことを接線と弦が作る角といいます。同様に弦APが接線ATと接点Aで交わっているとき、∠PATのことを接線と弦が作る角といいます。
  • 右の図のように、鈍角の場合も成り立ちます。さらには、直角でも成り立つので注意が必要です。

<証明>
上の左の図において∠BAT=∠APBが等しいことを証明すると
直径ADをひくと、∠DAT=90°だから
∠BAT=90°-∠BAD
△ABDは∠ABD=90°の直角三角形になるから、
∠ADB=180°-(90°+∠BAD)=90°-∠BAD
よって、∠BAT=∠ADB …①
また、弧ABに対する円周角は等しいから、
∠ADB=∠APB …②
①②より、∠BAT=∠APB

接弦定理の練習問題

下の図のように、円O上に点Aにおける接線ATを引く。∠TAB=∠APB=60°になる円O上の点Bをとると、AB=10√3 cmとなった。また、点Pが、点A、Bを除く弧AB上を動くとき、∠APBの2等分線と辺ABの交点をQとする。このとき、次の各問いに答えよ。
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  1. ∠APQの大きさを求めなさい。
  2. 円Oの半径を求めなさい。
  3. △PABの面積が最大になるときの面積を求めなさい。
  4. PA:PB=2:3のとき、AQの長さを求めなさい。
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接弦定理の練習問題の解説・解答

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高校入試において、相似と円の総合問題は、よく出題される形式で、福岡県公立入試に限れば、最近はこのカタチが流行りです。出題パターンは限られており、問題作成者も四苦八苦しているのが垣間見れる状況です。ここは、九九を解くように、解けるようになるまで、問題量をこなしていきましょう。

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