【中3数学】相似の証明のポイントと練習問題

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相似の証明についてです。入試でも高い割合で出題され、近年、福岡県入試では、難化傾向にあります。しかしながら、基本の型をおさえておけば大丈夫です。とりわけ、入試では、「2組の角がそれぞれ等しい」という条件を念頭におくことで、そのほとんどが解けてしまいます。

相似の証明の下準備

<理由>になりうるものの例として

  • 仮定より
  • 共通だから
  • 対頂角だから
  • ℓ//mで錯角が等しいから
  • ℓ//mで同位角が等しいから
  • 弧ABの円周角だから
  • 中点連結定理より

などになります。

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証明の流れ

「2組の角がそれぞれ等しい」の場合は、

相似の証明
△(    )と△(    )において、
(     )なので (    )=(    )…①
(     )なので (    )=(    )…②
①、②から2組の角がそれぞれ等しいので
△(    )∽△(      )

となる場合が多い。

俗にいう、「帽子型」と「砂時計型」、円の場合は、「へばりつくちょうちょ」などを探し出せばいい。
相似典型

相似の証明の練習問題

(1)図のように,AB=6cm,BC=8cmの長方形ABCDがあり,∠Bの二等分線とCDの延長との交点をEとする。また,BEとAC,ADとの交点をそれぞれP,Qとする。このとき、相似の三角形の組を2つ見つけ、それぞれ証明せよ。
zu70

(2)次の図のように点A,B,C,Dは、演習上にある。相似の三角形の組を見つけ証明せよ。
zu71

相似の証明の練習問題解答例

(1)
△EQDと△EBCにおいて
∠QED=∠BEC(共通)…①
∠EQD=∠EBC(QD//BCより同位角は等しい)…②
①②より 2組の角がそれぞれ等しいので
△EQD∽△EBC

△AQPと△CBPにおいて
∠AQP=∠CBP(AQ//BCより錯角は等しい)…①
∠APQ=∠CPB(対頂角)…②
①②より 2組の角がそれぞれ等しいので
△AQP∽△CBP

その他 いくつか相似の組はあります。

(2)
△ABOと△CDOにおいて
∠AOB=∠COD(対頂角)…①
∠ABO=∠CDO(弧ACの円周角)…②
①②より 2組の角がそれぞれ等しいので
△ABO∽△CDO

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