【中3数学】相似な三角形のポイント練習問題

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今回は、相似の総合問題です。図を通して、相似を探し出すことができるようになるのがポイントです。最初ですので、総合問題としては基礎レベルになります。また、相似とくれば、どれだけ連想できるでしょうか。相似になる代表的なカタチや線分を求めるパターン、相似のかくれんぼ(相似は隠れている)、相似の3連チャン、連比(比合わせ)、円と相似のパターンなどオーバーラップできるといいですね。福岡県の公立入試では、大問5で出題されるところですね。ある意味、パターン化されているので、案外、得点はしやすいところです。多くの人が、図形ということで、勝手な苦手意識を持ってくれているので、ここで差を開いちゃいましょう。

相似な三角形の典型的な形

相似典型

  • 帽子型
  • 砂時計型
  • 雪だるま型

などネーミングをして覚えていくといいでしょう。

相似な三角形を使った練習問題

下の図の△ABCで、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとし、線分ADの垂直二等分線と辺AB,ACとの交点をそれぞれE、Fとする。EとD、FとDをそれぞれ結ぶ。このとき、次の問いに答えなさい。
相似図形
(1)∠EADと大きさが等しい角は∠FADのほかに2つある。この2つの角を書け。
(2)△EBD∽△FDCであることを証明せよ。
(3)EB=2cm、ED=4cmのとき、FCの長さを求めよ。

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解説

(1)四角形AEDFは、対角線が直交し、1つの対角線の中点で交わっているので、ひし形である。よって、∠EAD=∠FAD=∠EDA=∠FDAとなる。

(2)△EBDと△FDCにおいて、
(1)より四角形AFDFは、ひし形なので、AB//FD、AC//EDとなる。
だから、∠EDB=∠FCD(同位角)…①
∠EBD=∠FDC(同位角)…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しい。よって、△EBD∽△FDC

(3)図示より、△BED∽△BAC(2組の角がそれぞれ等しい)の帽子型より、EB:BA=ED:ACなので
2:6=4:(x+4)となり、x=8となる。
zu15

相似な三角形を使った練習問題解答

(1)∠EDA ∠FDA
(2)上の解説参照
(3)8cm

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