【中3数学】2次関数(原点に頂点がない三角形の面積の求め方)

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今回は、三角形の面積に関連する問題が含まれる総合問題を練習します。よくある原点を頂点とした三角形の問題は基本問題としてありますが、今回は原点を頂点としない三角形の面積を求める問題です。解き方は、同じであることがポイントです。

2次関数の三角形の面積を求めるポイント

2次関数の三角形の面積を解くときは、『以下の図示の公式で解く』と言っても過言でないぐらいです。
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  • 鈍角三角形でも、同じようにこれを利用し解きます。

一般的には、頂点に向かって補助線を引き2つの三角形をそれぞれ求めて足して求めるより、以上のように、因数分解を利用して公式化したほうが圧倒的にスマートに解くことができます。何より計算の回数が減る分、計算ミスが減ります。
確認【中3数学】間違えやすい因数分解4つのパターン

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練習問題

下の図のように、関数y=ax2のグラフと直線lが2点A、Bで交わっている。点Aの座標(2,2)、点Bのx座標は4 である。y軸上の正の部分に点Pをとるとき、次の問いに答えなさい。
san1
(1)aの値を求めなさい。
(2)直線lを求めなさい。
(3)点Pの座標(0,5)であるとき、△ABPの面積を求めよ。
(4)△ABPの面積が△OAPの面積の4 倍になるように、点Pの位置を決めるとき、点Pのy座標を求めなさい。

解答・解説

(1)(2)の解説
san3
(1)については、関数において座標や比例定数を求めるときは代入して解くというのが一般的ですね。
(2)2点がわかれば、連立方程式(代入法)や変化の割合の求め方を利用して傾きを求めてから、直線の式を求めるのが一般的ですね。
確認【中2数学】1次関数の変化の割合
傾きは、分数で表せますから(整数も分数で合わせます。<例>2=2/1)xの増加量に対する、yの増加量の割合を、変化の割合といいます。
a=比例定数=傾き=変化の割合=yの増加量/xの増加量。「a=比例定数=傾き=変化の割合」ということになります。

(3)(4)の解説
san4
(3)については、別解として、別の方向からも同じようにして解くことも可能です。
(3)(4)とともに、今回のポイントであった「原点に頂点がない三角形の面積の求め方」の公式を利用することで、簡単に解くことができます。数学が苦手な子でも、(1)~(3)までは正解したいところです。

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