今回は、高校入試対策数学の三平方の定理の空間図形への利用の基本的なパターン問題の練習です。
三平方の定理と聞いて、どれだけ頭の中でパターンが思い浮かべるかがポイントです。たとえば、「特別な直角三角形とくれば7つあるな」「斜めの線分（対角線など）を求めるときは三平方、相似」「ラッキー角度（75°、120°、135°）で三平方」「高さが分からなければ三平方」などなど少なくとも21個の基本パターンが出てくると完璧です。
その中でも、今回は、「高さが分からなければ三平方」または、「正三角形の公式シリーズ」「空間の斜めは平面で三平方or相似」を使って解く基本パターンの練習です。
【問題】空間図形の実践問題
【問1】下の図は、底面が1辺6ｃｍの正方形で、側面が1辺6ｃｍの正三角形である四角すいOABCDを示したものである。このとき、次の問いに答えよ。
（1）辺OAとねじれの位置にある辺をすべてあげよ。
（2）四角すいOABCDの表面積は何ｃｍ3か。
（3）四角すいOABCDの体積は何ｃｍ3か。
（4）辺OAの中点をMとする。このとき、2点C、Mを結んだ線分CMの長さは何ｃｍか。
【問2】下の図の直方体ABCD-EFGHにおいて、∠AＦＥ＝45°、∠EFH＝60°、AE＝8である。このとき、次の問いに答えよ。
（1）AHの長さを求めよ。
（2）三角すいAEFHの体積を求めよ。
（3）△AFHの面積を求めよ。
（4）頂点Eから△AFHに下ろした垂線の長さを求めよ。
【解答・解説】空間図形の実践問題の解答・解説
【問1】
（1）
この問題は、三平方の定理を利用した基本典型問題となります。できなかった人は、何度も繰り返し、やり方を記憶できるまでやってみましょう。
三平方の定理は、県立・公立高校入試では、100％出題されるところです。出ることがわかっているのに、捨て問だとあきらめてしまうのにはもったいないというより、自ら不合格になってもいいと言っているのと同意です。頑張ってみましょう。
【問2】
（1）問題より、3つの特別な直角三角形△ＡＦＥ→△ＦＨＥ→△ＡＥＨと順に、三平方の定理を利用し、ＡＨを求める。よって、ＡＨは、特別な直角三角形（1：2：√3）を利用して、ＡＨ＝16となります。
よって、頂点Eから△AFHに下ろした垂線の長さ（＝三角すいＥ-ＡＦＨの高さ）は2方面シリ-ズ（空間図形編）より、すなわち、三角すいＡ-ＥＦＨ（2）の答え＝三角すいＥ-ＡＦＨとなる。
よく出題されるパターンの1つです。「よく飛ばしなさい」「後回しに」「合格点が大事だから捨てる（捨て問）」と言われるところかもしれませんが、出題されるパターンは、ある程度決まっているので、パタ－ン通り出題されると必ずしも後回しにということにはなりません。実際に問題を解きながら、今回は、「三平方の定理と空間における２方面シリーズ」に慣れていきましょう。
関数や図形などでは、応用力をつけるポイントは、いくつ自分でそのパターンを書き出せるかです。公式と同じです。塾に通っている人は、ぜひ、先生に尋ねてみましょう。
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