【高校入試数学】正多角形の練習問題

入試問題において、正多角形は、もっと頻出する図の1つです。ですから、大きな7つのパターンへの解法を知っておくことで、そのほとんどの正多角形の問題が解けてしまいます。九九のように解けてしまうと言って過言ではありません。正多角形の問題では、正三角形、正方形、正六角形、正八角形、正五角形の順によく出題されます。ちなみに、正多面体では、正四面体ですね。

正多角形の練習問題

A.下の図のように、2つの合同な正方形を重ねると、それらの重なった部分は1辺の長さが4ｃｍの正八角形になった。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）この正八角形の1つの内角の大きさを求めよ。
（2）ここで用いた2つの合同な正方形の1辺の長さを求めよ。
（3）この正八角形の面積を求めよ。

B.1辺が1cmの正五角形ABCDEがあります。対角線ACと対角線BFの交点をFとするとき、AFの長さを求めよ。

正多角形の練習問題の解答・解説

（1）正八角形の1つの外角＝360÷8＝45　よって、1つの内角＝180-45＝135°となる。

（2）△ＣＡＦ∽△ＡＣＤから

正三角形の面積

正三角形の面積を求めて、それを利用した問題はよく出題されます。その例が正六角形の体積などもその1つです。

正六角形の面積

正六角形は、正三角形6つに分けることができるので、正六角形の面積は＝6×正三角形となります。

正八角形の面積

周りを正方形で囲み、正方形の面積から4カドにできる直角二等辺三角形の面積を引きます。

正多角形についてのテクニックを一部公開させていただきました。