福岡県公立高校入試の大問5平面図形問題

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福岡県公立高校入試の大問5平面図形の解説の解説です。ここ数年比べると解きやすかったようです。うちの塾生は、3つの解き方に分かれました。1つは、△DAE-△DFGを引く方法。2つめは、そのまま台形を求める方法。3つめは、△ADE×8/9(9分の8)でした。1つめが、受験の多くが用いた解き方だったと思います。うちの塾生は、3つ目を利用した人が多かったです。

それでは、解説に入ります。今回は、最も多いであろう1つ目の解き方で解説していきます。

大問5平面図形の問題

(1)の証明は省略しています。模範解答通りです。

<問題>
線分ABを直径とする半径5cmの円Oがある。下の図のように、弧AB上に点Cを弧AC=弧CBになるようにとり、点Aと点Bを結ぶ。点Cを含まない弧AB上に点DをAD=3BDとなるようにとり、点Aと点D、点Bと点D、点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。点Aから線分CDに垂線をひき、線分CDとの交点をEとする。図において、点Bを通り線分AEと平行な直線と線分AD、CDとの交点をそれぞれF、Gとするとき、四角形AFGEの面積を求めよ。

平成29年度福岡県公立高校入試問題数学

ポイント
  • BD=xとし、三平方の定理の利用
  • 特別な直角三角形1:1:√2の活用
  • 弧が等しいと円周角も等しい(弧の長さは、中心角の大きさに比例)

以上のことだけだったので、簡単だったと思います。

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大問5平面図形の問題解説

  • 図示した45°は、弧が等しいと円周角も等しいことと、今回は、直径の円周角90°を二等分していることにもなっているので、∠FDG=∠BDG=45°、そのほか平行線の同位角より∠DAE=45°などとなっています。
  • BD=xとすると、AD=3xとなり、直角三角形ADBより三平方定理を使いx2+(3x)2=102からx=BD=√10、AD=3√10となります。
  • △DAEは直角二等辺三角形であり、特別な直角三角形1:1:√2を用い、各辺を求め、面積は、45/2(22.5)となります。
  • △DFGは直角二等辺三角形であり、特別な直角三角形1:1:√2を用い、各辺を求め、面積は、5/2(2.5)となります。※相似比の2乗が面積比であることを利用してもよい。

よって、求める四角形AFGE=△DAE-△DFG=45/2-5/2=20

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