福岡県公立入試空間図形対策問題と解説・ポイントです。今回は、平成29年度福岡県公立高校入試数学問題大問6(3)図形の解説となります。今年は、大問3、大問4、大問5とここ2.3年と比べると易しくなっていたので、今年一番難易度の高かった大問6(3)の問題に十分時間をかけることができたのではないでしょうか。
・福岡県の公立高校入試で出題される数学の空間図形問題に対する対策や勉強法を探している受験生が、問題の解き方やコツを知りたい。
・空間図形の頻出パターンや、入試でよく問われるポイントを理解し、効率的に学習を進めたいと考えている。
・過去問や練習問題を使いながら、難しい空間図形の問題に自信を持って取り組めるようにしたい。
福岡県公立入試数学空間図形対策問題
図1は、底面ABCDEFが1辺の長さ4cmである正六角形で、側面がすべて合同な長方形の六角柱ABCDEFGHIJKLを表しており、AG=6cmである。(3)図1に示す立体において、点Dと点Kを結び、線分DK上に点Rを△ADRと四角形BCJGの面積比が1:2になるようにとる。このとき、線分DRの長さを求めよ。
福岡県公立入試数学空間図形対策問題の解説
- 等脚台形の性質の利用
- 等積変形の利用
- 面積比の利用
を使って解いていきます。
<解法手順➊>
四角形BCJGは等脚台形より、図3のようになり、仮定、等脚台形の性質、三平方の定理により必要な線分の長さを求め、面積は24√3となります。
つまり、今回の問題は、△ADRの面積が12√3となるときの線分DRの長さを求めればよいことになります。
<解法手順➋>
また△KADは、等積変形(図4参照)より、△KAD=△PAD=△LADとなる。△PADの面積は、図1の赤で引いた直角三角形を利用して、PQの長さを三平方の定理で求めると4√3のことから、8×4√3÷2=16√3
<解法手順➌>
よって、△ADR:△KAD=3:4のことから、線分RD,KDを底辺と見たとき、高さが共通しているのでRD:KD=3:4(図5参照)となる。よって、RD=KD×3/4=2√13×3/4=3√13/2(2分の3ルート13)が答え。(KD=BG=2√13)
数学大問6のポイント
(1)(2)は、パターンで解けてしまうので、確実に正解したいところでした。大問5や6で(1)~(3)まであるとき、(1)(2)は極端に易しいのは、福岡県の最大の特徴であり、七不思議です。
(1)は、ねじれの位置・直線と平面の位置関係の理解を見る問題でしたね。
(2)は、【高校入試・数学】正多角形への解法テクニックなど標準的なパターンの練習をしておけば、単なる計算問題と同様になります。立式して、計算するだけです。
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