【福岡県公立高校入試対策】数学予想問題

【福岡県公立高校入試対策】数学予想問題です。本番を想定した問題となっています。空間図形は平成28(2016)年度の問題となっています。

数学予想問題（福岡県公立高校入試）
1. 数学予想問題（福岡県公立高校入試）の解答・解説

数学予想問題（福岡県公立高校入試）

【問1】小問集合
大問1数学

【問2】方程式文章題
Ａさんは自分の家から12ｋｍ離れた駅まで行った。途中の親せきの家までは毎時４ｋｍの速さで歩き，親せきの家で15分休み，そこで自転車を借りて，毎時18ｋｍの速さで駅まで行った。自分の家を出てから駅に着くまで全体で１時間30分かかった。このとき，歩いた道のりと自転車で進んだ道のりを求めなさい。ただし，歩いた道のりをｘｋｍ，自転車で進んだ道のりをｙｋｍとして，ｘ，ｙについての連立方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

【問3】整数・規則性
Aさんは下の図のように、自然数の書かれたカードを順に並べていた。
それを見ていたBさんとAさんの次の会話を読んで、あとの問いに答えなさい。
大問3数学

B ：Aさんの並べ方だと、全部並べなくても、どこにどんな数が書かれたカードがくるか分かるわね。
Ａ：どうして分かるの？たとえば6段目の左から3番目のカードに書かれた数は、何になるの。
Ｂ： 28になるわ。なぜなら、各段の➊右端のカードに書かれた数に規則性があるからよ。
Ａ：本当だ。ほかにも、何かないかな…。➋各段のカードの枚数にも規則性がありそうだ。それに、2段目のカードに書かれた数の和は9、3段目のカードに書かれた数の和は35だから、➌各段の数の和と各段の中央のカードに書かれた数との間にも関係がありそうだ。

n段目に並ぶカードについて、次の問いに答えなさい。
（1）下線部➊について、n段目の右端のカードに書かれた数をnを用いて表しなさい。
（2）下線部➋について、n段目に並ぶカードの枚数をnを用いて表しなさい。
難（3）ある段の中央のカードに書かれた数が91のとき、その段に並ぶカードに書かれた数の和を、下線部➌を参考にして求めなさい。

【問4】関数
図のように、AB＝6ｃｍ、BC＝8ｃｍ、∠B＝90°の直角三角形ABCがある。いま、点Pは毎秒2ｃｍの速さで、頂点Bから頂点Cを通って頂点Aまで三角形の辺上を動く。頂点Bから出発してからｘ秒後の△ABPの面積をSｃｍ2とするとき、次の各問いに答えよ。
大問4数学

（1）点Pが辺BC上にあるとき、ｘの変域を求めよ。また、Sとxの関係を次のグラフに書きなさい。（完答）
大問4グラフ

（2）点Pが辺CA上にあるとき、ｘの変域を求めよ。またSをｘを用いて表せ。（完答）

（3）S＝12となるようなｘの値を求めよ。

【問5】平面図形
下の図のように、△ABCとその辺BCを直径とする円がある。この円と辺AB,辺ACとは、それぞれ点D,Eで交わっていて、AD＝1ｃｍ、DB＝AC＝2ｃｍである。CDとBEの交点をFとするとき、次の問いに答えよ。
大問5数学
（1）△ACD∽△FBDを証明せよ。
（2）CDの長さを求めよ。
（3）BEの長さを求めよ。
難（4）△BCFの面積を求めよ

【問6】空間図形
図は、正四面体と三角柱を合わせた形で、正四面体は1辺4ｃｍ、三角柱の側面の側面はすべて合同な図形である。
福岡県公立入試平面図形対策問題（1）問題図

（1）図に示す立体において、辺CDとねじれの位置にある辺は全部で何本あるか答えよ。
（2）図に示す立体において、辺BC上に点Ｈ、辺AC上に点Iを、EH+HI+IDの長さが最も短くなるようにとる。BE=√3のとき、EH+HI+IDの長さを求めよ。
難（3）図に示す立体において、辺CD、DBの中点をそれぞれJ、Kとする。点Aと点Kを結び、点Jを通り線分AKに垂直な直線と線分AKとの交点をLとする。三角すいLBJDの体積は、正四面体ABCDの体積の何倍か。

数学予想問題（福岡県公立高校入試）の解答・解説

【問1】
（1）-4
（2）-32a³b
（3）x²-2x-15
（4）a=4b-5
（5）y=2x-4
（6）x=-10
（7）119°
（8）36π
（9）a=7
（10）1/4

【問2】
歩いた距離3ｋｍ　自転車の距離9ｋｍ
大問2数学解説

【問3】
（1）n2
（2）2n-1
（3）1729

【問4】
（1）0≦x≦4
大問4解説

（2）4≦x≦9　y=-24/5x+216/5
（3）x=2 , 13/2

【問5】
（1）△ACDと△FBDにおいて
∠ＡＣＤ＝∠ＦＤＢ＝90°（直径ＢＣの円周角）…①
∠ＡＣＤ＝∠ＦＤＢ（弧ＤＥの円周角）…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、△ACD∽△FBD

（2）√3
（3）3√3/2

（1）の解説
ねじれなので、ねじれの位置（直線と平面の位置関係）。よって、4本。

（2）の解説
最短距離は、必要なところの展開図を書き、直線を求める。多くの問題は、三平方の定理で求める。今回も、三平方の定理でした。
福岡県公立入試平面図形対策問題（1）解説図1

よって、3√7

※余談ですが、本番でどうしても空欄をなんとしても埋めたい人のために。
どうしてもわからないとき、問題文を読んで

60°がわかったらor出てたら、　○√3　（垂線の場合は、○√11のときも）
45°、135°がわかったらor出てたら　○√2
直角をはさむ辺の長さが1：2であれば　○√5
その他　○√7

√の中は、素数しかないのと、√13、√17の問題を作成するのは難しく、途中式が複雑になる傾向があるので、上記のパターンになりやすいのです。今回は、与えられた長さ4cmなので、それらしい数字の3√7となったわけです。√7は、約2.5と思ってといいと言っていますので、3√7は、約7ｃｍちょっと。4√7ではちょっと長いですし、2√7では、短すぎます。

（3）の解説
ポイントは、体積比だからといって、それぞれの体積を求めないでいいということ。
体積比＝底面積の比 × 高さの比のことを知っていれば、そこまで時間がかかりません。
福岡県公立入試平面図形対策問題（1）解説図2
ポイントは、高さの比が求められるかどうか！比なので、相似を使いましょう。