【中3数学】式による説明(整数の証明のポイントと練習問題)

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全国の県立・公立入試において、論理的に体系的に、答えを導けているかを確かめるために、求めるまでの過程を書かせる問題が増え、その配点も増加傾向にあります。特に、福岡県では、大問3の数の表明や資料の整理に代表される求めるまでの過程、大問5の図形の相似、合同などの証明がそれにあたります。今回は、数の証明に焦点をあてまとめていきます。

数の証明

数の証明は、2つのパターンです。

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「~を計算した数と~を計算した数が等しい」ことの証明

例題

連続する3つの整数のうち、最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しいことを証明せよ。ただし、整数nを使って真ん中の数をnとし、証明せよ。

解答

真ん中の数がnより、連続する3つの整数は、n-1、n、n+1と表せる。

最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、
(n-1)2+(n-1)2-2
=(n2-2n+1)+(n2+2n+1)-2
=2n2  …①

真ん中の整数の2乗の2倍は、
2×2
=2n2 …②

①②より最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しい

「○の倍数であること(○で割り切れること)」の証明

例題

連続する3つの4の倍数において、最も大きい数と真ん中の数の和の2乗から最も小さい数と真ん中の数の和の2乗をひいた差は128で割り切れることを証明せよ。ただし、整数nを使って真ん中の数を4nとし、証明せよ。

解答

整数nを使って真ん中の数を4nとすると、連続する3つの4の倍数は、4n-4、4n、4n+4と表せる。
数の照明
ここでnは整数なので128nは、128×(整数)となり128で割り切れる。

2ケタの整数を使った証明の練習問題

十の位の数と一の位の数の和が3の倍数となる2けたの自然数は3の倍数になることを証明しなさい。なお、十の位の数をa、一の位の数をbとし、a+b=3m(mは整数)を利用し解きなさい。

2ケタの整数を使った証明の練習問題解答

2けたの自然数は、10a+b
=9a+a+b
=9a+3m
=3(3a+m)
ここで、(3a+m)は、整数なので、3(3a+m)は、
3×(整数)となり、3の倍数となる。

まとめ

以上のように、パターンは2つです。カレンダーやブロックが用意された問題もありますが、その場合でも、どちらかの解法パターンになります。今年の福岡県公立入試での出題率は50%といったところでしょうか。失点は許されないところです。

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