【中3数学】角の二等分線定理のポイントと練習問題

「角の二等分線定理」は、角の二等分線が作る線分の比を求めるときに役立つ重要な定理です。この定理を使うことで、図形の辺の長さを求める問題をスムーズに解くことができます。特に相似や比の考え方と組み合わせて使うことが多いため、入試でも頻出です。

「どの長さの比が等しくなるの？」「どうやって活用すればいいの？」と迷うこともあるかもしれませんが、基本のポイントを押さえれば簡単に理解できます。この記事では、角の二等分線定理のポイントをわかりやすく解説し、実際の練習問題を通して解き方をマスターしていきます。しっかり学んで、入試問題にも対応できる力をつけましょう！

角の二等分線定理のポイント

内角の定理については、証明までできるといいです。たまに、定期テストでは出題される学校もあります。

内角の角の二等分線定理の証明

Ｃを通りＡＤに平行な直線がＢＡの延長と交わる点をＥとする。
ＡＤ//ＥＣより
∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ（錯角）…①
∠ＢＡＤ＝∠ＡＥＣ（同位角）…②
ここで、∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＤだから
①②より∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ
よって△ＡＣＥは二等辺三角形となり、ＡＥ＝ＡＥ…③
だからＢＤ：ＣＤ＝ＢＡ：ＡＥ…④
③④よりａ：ｂ＝ｘ：ｙ

角の二等分線定理の練習問題

（1）図のように，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍの長方形ＡＢＣＤがあり，∠Ｂの二等分線とＣＤの延長との交点をＥとする。また，ＢＥとＡＣ，ＡＤとの交点をそれぞれＰ，Ｑとする。このとき，ＤＥとＣＰの長さをそれぞれ求めなさい。

（2）図のように、AB＝3ｃｍ、BC＝4ｃｍ、CA＝2ｃｍの△ABCと∠BACの二等分線ｌがある。点B,Cから直線ｌに垂線をひき、それぞれの交点をD、Eとする。また、直線ｌがBCおよび△ABCの外接円と交わる点をそれぞれF、Gとする。次の問いに答えよ。BDとCEの長さの比を求めよ。

（3）図のように、ＡＢ＝8ｃｍ、ＢＣ＝12ｃｍ、ＡＣ＝15ｃｍの平行四辺形ＡＢＣＤがある。∠Ｂの二等分線と辺ＣＤの延長との交点をＥとし、ＢＥとＡＤ、ＢＥとＡＣとの交点をそれぞれ、Ｆ、Ｇとする。ＡＧ：ＡＣをもっとも、簡単な整数の比で表せ。

（4）図のようには、AB＝8、AC＝6、∠BAC＝60°の△ABCがある。∠BACの二等分線と辺BCの交点をD、点Cを通りADに平行な直線と辺BAの延長の交点をEとする。BD：DCをできるだけ簡単な整数比で表しなさい。

角の二等分線定理の解答

（1）ＤＥ＝2　ＣＰ＝40/7 （2）3：2　（3）2：5　（4）4：3