【中3数学】２次関数総合問題（正方形になるときの座標を求める）

2次関数の総合問題では、関数の式やグラフを活用して図形の条件を満たす点の座標を求める問題がよく出題されます。特に、「正方形になるときの座標を求める」問題は、関数の理解だけでなく、図形の性質も活用する必要があるため、入試での頻出パターンのひとつです。

「どの座標を求めればいいの？」「条件をどう式に表せばいいの？」と悩むこともあるかもしれませんが、ポイントを押さえればスムーズに解くことができます。この記事では、具体的な例題と解説を通して、解き方のコツをわかりやすく説明します。一緒に2次関数の応用力を鍛えていきましょう！

２次関数総合（正方形になるときの座標を求める）ポイント

今回は、２次関数総合問題のうち「正方形になるときの座標を求める」問題のある練習です。ポイントは、線分の長さを求めたり、線分の長さを文字を使ってしっかり表せるかです。

偏差値60以上の私立高校を目指す受験生にとっては、必答問題です。自信をもって、このパターンの問題が出題されたら儲けもんと言えるくらいの習熟度が必要です。

・縦の長さは、ｙ座標に注目し、（上）－（下）
・横の長さは、ｘ座標に注目し、（右）－（左）
・斜めの長さは、三平方の定理（及び、相似を利用のときも）

下の図のように、関数y=2x²のグラフ上に、ｙ座標の等しい２点A、Bがある。ただし、Aのｘ座標は正である。また、関y=-x² のグラフ上には２点C、Dがあり、AとDのｘ座標、BとCのｘ座標はそれぞれ等しい。これらの４点A、B、C、Dを結んで長方形をつくる。次の問いに答えよ。

１．Aのｘ座標が２のとき、ADの長さを求めよ。
２．長方形ABCDが正方形になるとき、点Aのｘ座標を求めよ。
３．BCとｘ軸との交点をEとし、直線AEと関数y=2x²のグラフとの交点のうち、Aでない方をFとする。Aのｘ座標をaとするとき、△OCFの面積を、aを用いて表せ。

（1）

点Ａの座標（2、8）、点Ｄの座標（2、-4）なので、ＡＤの長さは、縦の長さののでｙ座標に注目して（上）-（下）となり8-（-4）＝12