高校入試数学「平面図形総合問題」

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三角形の合同の証明、三平方の定理のうち特別な直角三角形についての理解、面積比の利用についての活用を問う問題などさまざま代表的な問題を解いて、その解法の仕方を学んでいきましょう。

平面図形総合問題練習問題1

図において、∠ABC=45°の三角形ABCがある。今、頂点Aから辺BCにひいた垂線と辺BCとの交点をDとし、頂点Cから辺ABにひいた垂線と辺ABとの交点をEとし、頂点Bから辺ACに垂線と辺ACとの交点をGとする。また、線分ADと線分CEとの交点をFとする。次の問いに答えよ。
sugaku1
(1)△ACDと合同な三角形を見つけ、証明せよ。
(2)BD=6,DC= √2とするとき、辺AB、BF,FC,ACで囲まれた四角形の面積を求めよ。
(3)BD=6,DC= √2とするとき、三角形BDFは、三角形CDFの何倍かもとめよ。
(4)BD=5,DC=2とするとき、三角形AFCは、三角形BDFの何倍かもとめよ。

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平面図形総合問題解答1

(1)
△ACDと△BFDにおいて
AD=BD (仮定)…①
∠ADC=∠BDF=90° …②
∠CAD=90°-∠AFG…③
∠FBD=90°-∠BFD…④
ここで、∠AFG=∠BFG(対頂角で等しい)…⑤
③④⑤より∠CAD=∠FBD…⑥
①②⑥より1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ACD≡△BFD

(2)17 (3)3√2 倍 (4 )3/5 倍

平面図形総合問題練習問題2

図1と図2において、立体ABCD-EFGHは四角柱である。四角形ABCDと四角形EFGHは合同な台形であり、AB//DC、∠ABC=∠BCD=90度、AB=5cm、BC=4cm、CD=3cmである。四角形ADHE、DCGH、ABFE、BCGFは長方形であり、AE=2cmである。次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。
問題
(1)図1において、次のア~オのうち、辺BCと平行な辺、辺BCとねじれの位置にある辺はそれぞれどれですか。一つずつ選び、記号を書きなさい。
ア 辺AD  イ 辺BF  ウ 辺DC  エ 辺EH  オ 辺FG

(2)図1において、AとGとを結んでできる線分AGの長さを求めなさい。

(3)図2において、四角柱ABCD-EFGHは平面EFCDによって二つの立体に分けられる。その二つの立体のうち、点Aをふくむ方の立体の体積を求めなさい。

平面図形総合問題解答2

(1)平行オ ねじれエ (2)3√5 (3)52/3(3分の52)

練習問題3

半径5cmの円Oがある。下の図のように、円Oの周上に5点A,B,C,D,Eを、弧AB=弧AE、線分ADが直径となるようにとる。点Aを通る線分CEの垂線と線分CEとの交点をFとする。
円と相似
(1)△AFCと相似な三角形を1つ選び、その三角形と△AFCが相似であることを証明せよ。
(2)DC= cm CB=6cmのとき、△AFCの面積を求めよ。

平面図形総合問題解答3

(1)
△AFCと△ABDにおいて
仮定より∠AFC=90° …①
ADは、円Oの直径だから、∠ABD=90° …②
①②より、∠AFC=∠ABD …③
弧AB=弧AEより、∠ADB=∠ACF …④
③④より2組の角がそれぞれ等しいので
△AFC∽△ABD

(2)96/5

平面図形総合問題練習問題4

線分ABを直径とし、点Oを中心とする円がある。下の図のように、円Oの周上に点Cをとり、△ABCをつくる。弧AB上に点Dを線分DOの延長と辺ACが垂直に交わるようにとり、線分DOの延長と辺ACとの交点をEとする。線分ABと線分CDとの交点をFとする。
問題
(1)△ABCと相似な三角形を1つ選び、相似であることを証明せよ。

AC=4√2 、BC=2cmとするとき、次の問いに答えよ。
(2)OEの長さを求めよ。
(3)ABの長さを求めよ。
(4)△ODFの面積を求めよ。

平面図形総合問題解答4

(1)
△AOEと△ABCにおいて、
仮定より ∠AEO=90°…①
直径の円周角は90°なので、∠ACB=90°…②
①②より ∠AEO=∠ACB …③
共通な角より、∠EAO=∠CAB …④
③④より、2組の角がそれぞれ等しいから、△AOE∽△ABC
(2)1
(3)6cm
(4)9√2/5cm(5分の9√2)

平面図形総合問題練習問題5

1辺の長さが6cmの正方形ABCDがある。下の図のように、辺DCの中点をEとし、対角線ACと対角線BD、線分BEとの交点をそれぞれF,Gとする。点Aを通る線分BEの垂線と線分BEとの交点をHとする。
問題
(1)△ABGと相似な三角形を1つ選び、相似であることを証明せよ。
(2)線分AGの長さを求めよ。
(3)線分GBの長さを求めよ。
(4)線分GHの長さを求めよ。
(5)△AGHの面積を求めよ。

平面図形総合問題解答5

(1)
△ABGと△CFGにおいて、
対頂角は等しいので ∠AGB=∠CGF …①
平行線の錯角は等しいので ∠ABG=∠CFG …②
①②より2組の角がそれぞれ等しいから、
△ABG∽△CFG
解答

平面図形総合問題練習問題6

下の図のように、円の周上にA、B、C、Dがあり、ADとBCの交点をEとし、∠BAD=∠CAD、AB=6cm、BC=5cm、CA=4cmである。次の各問いに答えよ。
問題
(1)BE:ECをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
(2)AEの長さとEDの長さの積を求めよ。
(3)AEの長さとADの長さの積を求めよ。
(4)AEの長さを求めよ。

平面図形総合問題解説・解答6

解説
よって、BE:EC=AB:AC=6cm:4cm=3:2となる。
解説
ズバリこれ!特に、角が二等分された三角形が円に内接しているこの問題では、もう決まったもん同然です。

この問題では、△ABE∽△ADC∽△CDE。またBC=5cmで、BE:EC=3:2なのでBE=3cm、EC=2cm
解説
解説
解説
解説
(1)3:2 (2)6 (3)24 (4)3√2

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