【高校入試対策数学】平面図形総合問題の練習問題

三角形の合同の証明、三平方の定理のうち特別な直角三角形についての理解、面積比の利用についての活用を問う問題などさまざま代表的な問題を解いて、その解法の仕方を学んでいきましょう。

【問題】平面図形総合問題の練習問題

【問1】図において、∠ＡＢＣ＝45°の三角形ＡＢＣがある。今、頂点Ａから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をＤとし、頂点Ｃから辺ＡＢにひいた垂線と辺ＡＢとの交点をＥとし、頂点Ｂから辺ＡＣに垂線と辺ＡＣとの交点をＧとする。また、線分ＡＤと線分ＣＥとの交点をＦとする。次の問いに答えよ。

（1）△ＡＣＤと合同な三角形を見つけ、証明せよ。
（2）ＢＤ＝6,ＤＣ＝ √2とするとき、辺ＡＢ、ＢＦ，ＦＣ，ＡＣで囲まれた四角形の面積を求めよ。
（3）ＢＤ＝6,ＤＣ＝ √2とするとき、三角形ＢＤＦは、三角形ＣＤＦの何倍かもとめよ。
（4）ＢＤ＝5,ＤＣ＝2とするとき、三角形ＡＦＣは、三角形ＢＤＦの何倍かもとめよ。

【問2】図1と図2において、立体ABCD-EFGHは四角柱である。四角形ABCDと四角形EFGHは合同な台形であり、AB//DC、∠ABC=∠BCD=90度、AB=5cm、BC=4cm、CD=3cmである。四角形ADHE、DCGH、ABFE、BCGFは長方形であり、AE=2cmである。次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。

（1）図1において、次のア～オのうち、辺BCと平行な辺、辺BCとねじれの位置にある辺はそれぞれどれですか。一つずつ選び、記号を書きなさい。
ア　辺AD　　イ　辺BF　　ウ　辺DC　　エ　辺EH　　オ　辺FG

（2）図1において、AとGとを結んでできる線分AGの長さを求めなさい。

（3）図2において、四角柱ABCD-EFGHは平面EFCDによって二つの立体に分けられる。その二つの立体のうち、点Aをふくむ方の立体の体積を求めなさい。

【問3】線分ＡＢを直径とし、点Ｏを中心とする円がある。下の図のように、円Ｏの周上に点Ｃをとり、△ＡＢＣをつくる。弧ＡＢ上に点Ｄを線分ＤＯの延長と辺ＡＣが垂直に交わるようにとり、線分ＤＯの延長と辺ＡＣとの交点をＥとする。線分ＡＢと線分ＣＤとの交点をＦとする。

（1）△ＡＢＣと相似な三角形を1つ選び、相似であることを証明せよ。

ＡＣ＝4√2 、ＢＣ＝2ｃｍとするとき、次の問いに答えよ。
（2）ＯＥの長さを求めよ。
（3）ＡＢの長さを求めよ。
（4）△ＯＤＦの面積を求めよ。

【問4】1辺の長さが6ｃｍの正方形ＡＢＣＤがある。下の図のように、辺ＤＣの中点をＥとし、対角線ＡＣと対角線ＢＤ、線分ＢＥとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。点Ａを通る線分ＢＥの垂線と線分ＢＥとの交点をＨとする。

（1）△ＡＢＧと相似な三角形を1つ選び、相似であることを証明せよ。
（2）線分ＡＧの長さを求めよ。
（3）線分ＧＢの長さを求めよ。
（4）線分ＧＨの長さを求めよ。
（5）△ＡＧＨの面積を求めよ。

【問5】下の図のように、円の周上にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、ＡＤとＢＣの交点をＥとし、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ、ＡＢ＝6ｃｍ、ＢＣ＝5ｃｍ、ＣＡ＝4ｃｍである。次の各問いに答えよ。

（1）ＢＥ：ＥＣをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
（2）ＡＥの長さとＥＤの長さの積を求めよ。
（3）ＡＥの長さとＡＤの長さの積を求めよ。
（4）ＡＥの長さを求めよ。

【解答】【問題】平面図形総合問題の練習問題

【問1】
（1）
△ＡＣＤと△ＢＦＤにおいて
ＡＤ＝ＢＤ　（仮定）…①
∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＦ＝90°　…②
∠ＣＡＤ＝90°－∠ＡＦＧ…③
∠ＦＢＤ＝90°－∠ＢＦＤ…④
ここで、∠ＡＦＧ＝∠ＢＦＧ（対頂角で等しい）…⑤
③④⑤より∠ＣＡＤ＝∠ＦＢＤ…⑥
①②⑥より1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ＡＣＤ≡△ＢＦＤ

（2）17
（3）3√2 倍
（4）3/5 倍

【問2】
（1）平行：オ　ねじれ：エ
（2）3√5
（3）52/3（3分の52）

【問3】
（1）
△ＡＯＥと△ＡＢＣにおいて、
仮定より　∠ＡＥＯ＝90°…①
直径の円周角は90°なので、∠ＡＣＢ＝90°…②
①②より　∠ＡＥＯ＝∠ＡＣＢ　…③
共通な角より、∠ＥＡＯ＝∠ＣＡＢ　…④
③④より、2組の角がそれぞれ等しいから、△ＡＯＥ∽△ＡＢＣ
（2）1
（3）6ｃｍ
（4）9√2/5ｃｍ（5分の9√2）

【問4】
（1）
△ＡＢＧと△ＣＦＧにおいて、
対頂角は等しいので　∠ＡＧＢ＝∠ＣＧＦ　…①
平行線の錯角は等しいので　∠ＡＢＧ＝∠ＣＦＧ　…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいから、
△ＡＢＧ∽△ＣＦＧ

【問5】

よって、ＢＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝6ｃｍ：4ｃｍ＝3：2となる。

ズバリこれ！特に、角が二等分された三角形が円に内接しているこの問題では、もう決まったもん同然です。

この問題では、△ＡＢＥ∽△ＡＤＣ∽△ＣＤＥ。またＢＣ＝5ｃｍで、ＢＥ：ＥＣ＝3：2なのでＢＥ＝3ｃｍ、ＥＣ＝2ｃｍ




（1）3：2　（2）6　（3）24　（4）3√2