【高校入試対策数学】中学数学の内容をよく出る問題を解いて合格を確実に！

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【問題】高校入試数学でよく出る典型問題

【問1】指数計算の練習問題

次の計算をしなさい。
（1）(-5)³
（2）(-4)⁴
（3）-0.5²
（4）(-3)²×(-4)²
（5）(-3³)÷(-3)²

【問2】中2内容の小問集合問題

【1】次の問いに答えなさい。
（1）次の多項式x²-3x+5の項を答えなさい。
（2）-3a²bの次数を答えなさい。
（3）十の位の数がm、一の位の数がnである2けたの自然数を文字式で表しなさい。
（4）2x×(-3x)²を計算しなさい。
（5）(2x+4y)-(3x-y)を計算しなさい。
（6）-36ab²÷4b÷(-3a)を計算しなさい。
（7）x=5,y=-2のとき、2xy²×(-3x)÷xyの値を求めなさい。
（8）m=3(a+b)をaについて解きなさい。
（9）連続する3つの整数の和は3の倍数になります。この理由を文字を使って説明しなさい。
（10）底面の半径がrcm、高さがhcmの円すいAと底面の半径がAの半分の長さで、高さがAの2倍の円すいBがある。円すいBの体積は、円すいAの体積の何倍かを、文字式を使って説明しなさい。

【2】次の問題に答えなさい。
（1）二元一次方程式x+3y=5の解を1つ答えなさい。
（2）連続する5つの整数は、一番小さい数をn（整数）とすると、3番目の数は（　　 ）と表せる。（　　）にあてはまる式を書きなさい。
（3）どちらかの文字の係数の絶対値をそろえ、左辺どうし、右辺どうしを加えたりひいたりして、その文字を消去して連立方程式を解く方法を何というか答えなさい。
（4）3x²-2x+x-4x²を計算しなさい。
（5）7x²y³×9x²y³を計算しなさい。
（6）6xy²×4x÷3yを計算しなさい。
（7）-3x+4y=10とx+8y=-1の連立方程式を解きなさい。
（8）2x-7y-1=0と2x+3y+9=0の連立方程式を解きなさい。
（9）2x+3y=9をyについて解きなさい。
（10）2けたの自然数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は11の倍数になることを説明しなさい。

【問3】確率の対策問題

＜1＞
（1）A,Bの2つのさいころを2個同時に投げたとき、出た目の積が奇数になる確率を求めよ。
（2）A,Bの2つのさいころを2個同時に投げたとき、Aのさいころの目とBのさいころの目が等しくなる確率を求めよ。

＜2＞
（1）袋の中に，赤玉が２個，白玉が１個，青玉が１個入っている。この袋から同時に２個とり出すとき２個とも赤玉である確率を求めなさい。
（2）赤玉４個と白玉２個のあわせて６個の玉が袋の中に入っている。この袋から玉を２個同時に取り出すとき、赤玉と白玉が１個ずつ取り出される確率を求めなさい。
（3）赤玉４個と白玉２個のあわせて６個の玉が袋の中に入っている。この袋から玉を２個同時に取り出すとき、少なくとも１個は白玉が取り出される確率を求めなさい。

＜3＞
3枚の硬貨を同時に投げるとき、次の確率を求めなさい。
（1）3枚とも表になる確率
（2）1枚が表で， 2 枚が裏になる確率

＜4＞
＜1＞＜2＞＜3＞＜4＞の数字カードが1枚ずつある。このカードをよくきって1枚ずつ2回ひき、ひいた順に左から並べて2けたの整数をつくるとき、次の問いに答えなさい。
（1）2けたの整数は何通りできますか。
（2）次の確率を求めなさい。
① 2けたの整数が偶数になる確率
② 2けたの整数が3の倍数になる確

【問4】中3内容の小問集合問題

【1】
＜1＞次の問いに答えなさい。
（1）(x－5)(x＋2) を計算しなさい。
（2）(2a－3)(2a＋5)を計算しなさい。
（3）(3x－1)(3x＋1)を計算しなさい。
（4）－4y(x＋y)－(3x＋2y)(3x－2y)を計算しなさい。
（5）(a＋b)²－(a－2b)²を計算しなさい。

＜2＞次の式を因数分解しなさい。
⑴ 8ab²－6ab
⑵ x²＋5x＋6
⑶ a²－14ab＋49b²
⑷ 25a²－16b²
⑸ ax²－2ax＋a
⑹ 4ab²－9a

＜3＞次の問いに答えなさい。
⑴ 189を素因数分解しなさい。
⑵ 189にできるだけ小さい自然数をかけて，ある自然数の 2 乗となるようにしたい。どんな数をかければよいですか

＜4＞2けたの整数は、十の位の数をa,　一の位の数をbとすると、 と表すことができます。これを利用して、「2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である」ことを証明しなさい。

【問5】相似の対策問題

（1）次の図△ABCで、DE//BCのとき、ｘの値を求めよ。

（2）次の図で、直線ａ，ｂ，ｃは平行である。ｘの値を求めよ。

（3）次の図△ABCで、DE//BCのとき、DEの値を求めよ。

（4）次の図で、直線ａ，ｂ，ｃは平行である。ｘの値を求めよ。

（5）次の図で、２点Ｐ、Ｑはそれぞれ辺ＡＢ，辺ＡＣの中点であり，点Ｒは２つの線分ＢＱとＣＰの交点である。ＰＲ＝５ｃｍ，ＱＲ＝４ｃｍのとき，ＢＲの長さを求めよ。

【問6】三平方の定理の対策問題

（1）2辺の長さが3ｃｍ、6ｃｍの直角三角形がある。他の1辺の長さをすべて求めよ。

（2）3辺の長さが7ｃｍ、5ｃｍ、3ｃｍの三角形を、各辺ともｘｃｍずつ長くして直角三角形にしたい。ｘの値を求めよ。

（3）下図のように，AB=２ｃｍ，AD=３ｃｍの長方形ABCDがある。このとき，対角線ACの長さを求めなさい。

（4）下図のようにひし形ＡＢＣＤである。ＡＢ＝3cm，BD=4cmのとき，対角線ACの長さを求めなさい。

（5）下図の正四角すいは，ＯＨ＝１２ｃｍ，ＯＡ＝１３ｃｍである。この正四角すいの体積を求めなさい。

（6）半径が８ｃｍの円で，中心からの距離が２ｃｍである弦の長さを求めよ。

（7）下の直方体で，CG＝3ｃｍ、ＦＧ＝5ｃｍ、ＥＦ＝4ｃｍのとき、対角線ＡＧの長さを求めなさい。

（8）図のように，正六角形ＡＢＣＤＥＦの各辺の中点を結んだ正六角形ＰＱＲＳＴＵがあります。ＡＢ＝4cmのとき，辺PQの長さを求めなさい

（9）下図で1辺が8ｃｍの正八面体の表面積を求めなさい。

（10）長方形ＡＢＣＤを，右の図のように，線分ＥＧを折り目として折り，頂点Ａを辺ＢＣ上の点Ｆに重ねる。ＡＢ＝10ｃｍ，ＢＦ＝６ｃｍのとき，線分ＢＥの長さを求めよ。

【問7】ねじれの位置の対策問題

（1）次の図において、底面が直角二等辺三角形で、側面はすべて長方形の三角柱ＡＢＣ-ＤＥＦであり、∠ＥＤＦ＝90°、ＤＥ＝ＤＦ＝5ｃｍ、ＡＤ＝12ｃｍとする。辺ＡＢとねじれの位置にある辺は何本か答えなさい。



（2）次の図において、立体ABCD-EFGHは四角柱である。四角形ABCDと四角形EFGHは合同な台形であり、AB//DC、∠ABC=∠BCD=90度、AB=5cm、BC=4cm、CD=3cmである。図において、次のア～オのうち、辺BCと平行な辺、辺BCとねじれの位置にある辺はそれぞれどれですか。一つずつ選び、記号を書きなさい。



ア　辺AD　　イ　辺BF　　ウ　辺DC　　エ　辺EH　　オ　辺FG

【問8】資料の活用の対策問題

＜1＞次の度数分布表はあるクラスの生徒20人の通学にかかる時間を調べてまとめたものである。次の問いに答えなさい。

（1）階級の幅は何分ですか。
（2）度数がもっとも多い階級の相対度数を求めなさい。
（3）この20人の通学にかかる時間の平均値を求めるために，次のような表をつくった。ア～ウにあてはまる数を求め，平均値を求めなさい。

＜2＞次のような、あるクラスのグループ7人の50ｍ層の記録です。7人の記録の平均値を求めてみましょう。なお、平均値は、四捨五入して小数第1位まで求めなさい。

＜3＞次のような、あるクラスのグループ7人の50ｍ層の記録です。7人の記録の中央値を求めてみましょう。

＜4＞
次のような、あるクラスのグループ8人の10点満点の小テストの記録です。8人の記録の中央値を求めてみましょう。

＜5＞次のような、あるクラスのグループ8人の10点満点の小テストの記録です。8人の記録の最大値、最小の値、範囲を求めてみましょう。

【問9】数量を文字式で表すの対策問題

次の問いに答えなさい。
（1）１２０円の８０％は（　　　）円である。（　　）適当な数字を入れなさい。
（2）りんごの成分のうち８６％が水分であるとき，２５０ｇのりんごに含まれる水分は何ｇか。
（3）ある品物を定価の30％引きで買ったところ、代金は1680円であった。この品物の定価を求めよ。
　ただし、消費税については考えなくてよい。
（4）Aさんの体内に含まれる水分の重さは，体重の60％を占める。体重55kgのAさんの体内に含まれる水分の重さは，（　　　）kgである。
（5）ｘkgの7％は何kgか，ｘを使って表しなさい。
（6）10000円のa％は何円になるか、求めなさい
（7）ある中学校の昨年度の入学者数は１５０人であった。今年度の入学者数はａ人であり，昨年度の入学者数に比べてｘ％減少した。ｘをａの式で表しなさい。
（8）10％の濃度の食塩水ｘｇと6％の濃度の食塩水ｙｇを混ぜ合わせたら７％の食塩水になった。ｘ：ｙを簡単な整数の比で表しなさい。
（9）ｘ本のえんぴつを姉と妹に3：2の比に分けたとき、妹のほうが姉よりｙ本少なかった。このとき、ｘ；ｙをもっとも簡単な整数の比で表せ。
（10）ａ％の食塩水２００ｇに，ｂ％の食塩水３００ｇを加えた食塩水５００ｇに含まれる食塩の量は何ｇか。ａ，ｂを用いて表しなさい。

【解答・解説】高校入試数学でよく出る典型問題

【問1】指数計算の練習問題解答

（1）-125
（2）256
（3）-0.25
（4）144
（5）-3

【問2】中2内容の小問集合問題の解答

【1】
（1）次の多項式x²-3x+5の項を答えなさい。
x²、-3x、+5

（2）-3a²bの次数を答えなさい。
3

（3）十の位の数がm、一の位の数がnである2けたの自然数を文字式で表しなさい。
10m+n

（4）2x×(-3x)²を計算しなさい。
18×3

（5）(2x+4y)-(3x-y)を計算しなさい。
-x+5y

・同類項…文字の部分が同じである項

（6）-36ab²÷4b÷(-3a)を計算しなさい。
3b

（7）x=5,y=-2のとき、2xy²×(-3x)÷xyの値を求めなさい。
60

（8）m=3(a+b)をaについて解きなさい。
a=-b-m/3

（9）連続する3つの整数の和は3の倍数になります。この理由を文字を使って説明しなさい。
nを整数とすると、連続3つの整数は、n-1,n,n+1と表せる。
この3つの整数の和は
(n-1)+n+(n+1)
=3n
ここで、nは整数なので、3nは3×（整数）となり3の倍数。
よって、連続する3つの整数の和は3の倍数になる。

（10）底面の半径が6rcm、高さが6hcmの円すいAと底面の半径がAの半分の長さで、高さがAの2倍の円すいBがある。円すいBの体積は、円すいAの体積の何倍かを、文字式を使って説明しなさい。

円すいAの体積＝π×6r²×6h×1/3＝72πr²h
円すいBの体積＝π×3r²×12h×1/3＝36πr²h

よって、36πr²h÷72πr²h＝1/2（0.5）倍

【2】
（1）二元一次方程式x+3y=5の解を1つ答えなさい。
（例）x=-1，y=2など

（2）連続する5つの整数は、一番小さい数をn（整数）とすると、3番目の数は（　　 ）と表せる。（　　）にあてはまる式を書きなさい。
n+3

（3）どちらかの文字の係数の絶対値をそろえ、左辺どうし、右辺どうしを加えたりひいたりして、その文字を消去して連立方程式を解く方法を何というか答えなさい。
加減法

（4）3x²-2x+x-4x²を計算しなさい。
7x²-x

（5）7x²y³×9x²y³を計算しなさい。
63x⁴y⁶

（6）6xy²×4x÷3yを計算しなさい。
8x²y

（7）-3x+4y=10とx+8y=-1の連立方程式を解きなさい。
x=-3,y=1/4

（8）2x-7y-1=0と2x+3y+9=0の連立方程式を解きなさい。
x=-3,y=-1

（9）2x+3y=9をyについて解きなさい。
y=(-2x+9)/3

（10）2けたの自然数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は11の倍数になることを説明しなさい。
十の位の数をx、一の位の数をyとすると2けたの自然数は10x+y、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、10y+xと表せる。

(10x+y)+(10y+x)
=11x+11y
=11(x+v)

ここで(x+y)は整数なので、11(x+v)は11×整数となり11の倍数となる。
よって、2けたの自然数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は11の倍数になる。

【問3】確率の対策問題の解答

＜1＞
（1）1/4　
（2）1/6

さいころの確率のポイント
さいころの確率の問題を解く上で知っておきたい用語

• 素数…1とその数字でしか割れない自然数（約数が2つの数）（例）2.3.5.7など
• 以上、以下…その数も含みます。（例）5以上＝5.6.7…
• 偶数…2の倍数
• 奇数…2で割れない数（偶数でない数）
• 積…掛け算の解（答え）
• 商…割り算の解（答え）
• 差…大きい数－小さい数
• 整数…負の数、0、正の数（分数や少数は除く）
• 自然数…正の整数

さいころの確率の解法
さいころは、1つ投げると6通りの出る目があります。2つのさいころを同時に投げると6²＝36通り、3つのさいころを同時に投げると6³＝216通りあります。※「2つのさいころを同時に投げる」と「1つのさいころを2回連続で投げる」の組み合わせは同じく36通りです。

入試では、2つのさいころを同時に投げたときの、ある条件の確率を求めさせる問題が圧倒的に多いです。

2つのさいころの確率の例題
樹形図や表を利用して解いていきます。今回は、「表」を使って解いていきましょう。



＜例題＞
１から６までの目の出るサイコロA、Bを同時に投げる。さいころAに出る目の数をｘ、さいころBに出る目の数をｙとするとき、２ｘ＋ｙ＝９となる確率を求めなさい。

＜解答＞
『表』を利用し、該当する組み合わせにチェックを入れていきます。すると、以下のようになります。

＜2＞
（1）1/6
（2）8/15
（3）3/5

玉・くじの確率の解き方のポイント
『辞書的配列法』を使ういいでしょう。たとえば、5本のうち、2本があたりのくじがある。ときたら、あたりくじ　ａ，ｂ　はずれくじ　ｃ，ｄ，ｅとアルファベット（辞書的）に配列して樹形図を書入ていくという具合です。また、玉やくじにすでに、なんらかの数字や色がつけられていたら、その限りではありません。

玉・くじの確率の例題
6本のうち、2本の当たりが入っているくじがある。この6本のくじの中から、同時に2本のくじをひくとき、1本だけ当たりである確率を求めよ。

解説
2本の当たりをa,bとし、残りをc,d,e,fとします。そうすると樹形図は、以下のようになります。



1本だけ当たりは、a-c a-d a-e a-f b-c b-d b-e b-fの8通り、上の樹形図より、場合の数は、15通りで、1本だけ当たりであるのは8通りなので、8/15となります。

＜3＞
（1）1/8
（2）3/8

＜4＞
（1）12通り
（2）①1/2　②1/3

【問4】中3内容の小問集合問題の解答

【1】
＜1＞
（1）(x－5)(x＋2) を計算しなさい。
x²－3x－10

（2）(2a－3)(2a＋5)を計算しなさい。
4a²＋4a－15

（3）(3x－1)(3x＋1)を計算しなさい。
9x²-1

（4）－4y(x＋y)－(3x＋2y)(3x－2y)を計算しなさい。
－9x²－4xy

（5）(a＋b)²－(a－2b)²を計算しなさい。
6ab－3b²

＜2＞
⑴ 2ab(4b－3)
⑵ (x＋2)(x＋3)
⑶ (a－7b)²
⑷ (5a＋4b)(5a－4b)
⑸ a(x－1)²
⑹ a(2b＋3)(2b－3)

＜3＞
⑴ 189を素因数分解しなさい。
3³×7

⑵ 189にできるだけ小さい自然数をかけて，ある自然数の 2 乗となるようにしたい。どんな数をかければよいですか
21

＜4＞2けたの整数は、十の位の数をa,　一の位の数をbとすると、 と表すことができます。これを利用して、「2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である」ことを証明しなさい。

2けたの整数は10a+b
その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数10b+aと表せる。

(10a+b)²-(10b+a)²
=100a²+20ab+b²-(100b²+20ab+a²)
=99a²-99b²
=99(a²-b²)

ここで(a²-b²)は、整数なので、99(a²-b²)は99×（整数）となり99の倍数である。
よって、2けたの整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数との平方の差は、99の倍数である。

【問5】相似の対策問題の解答

相似のパターン

相似の 2 型と雪だるまの 3 変化

以上のように5つの相似出現パターンがあります。

• 帽子型
• 砂時計型
• 雪だるま型
• 雪だるま肥満型
• 雪だるま雪崩型

です。帽子型と砂時計型は、平面図形総合問題として、平行四辺形など多角形や円の中に隠れている場合が多く、その中から相似を見つけ出し、線分の長さや線分比、面積比を求めさせる問題が多いです。

解答

（1）については、4：ｘ＝3：5と平気でする人がいますが、相似の図形を見つけ出し対応させて解くことが必要です。よって、4：（4+ｘ）＝3：5となります。
（2）補助線などをいちいち引いてしまう人がいますが、雪だるま型を使用しましょう。
（3）中点連結定理（今回は、ＡＤ＝ＤＢ）を使うことで、解答に1秒もかかりませんね。
（4）雪だるま型を使用し、しっかり対応させて立式しましょう。
（5）砂時計型の相似を見つけて、中点連結定理を間接的に使用することで、解答時間はほんの2秒でしょうか。

【問6】三平方の定理の対策問題の解答

（1）求める長さが斜辺のとき、3√5 、6ｃｍが斜辺のとき3√3
（2）ｘ＝3
（3）√13
（4）2√5
（5）200
（6）4√15
（7）5√2
（8）2√3

（9）128√3　（ちなみに、体積は512√2/3）

（10）16/5

【問7】ねじれの位置の対策問題の解答

（1）3本（2）平行オ　ねじれエ

＜ねじれの3ないの法則＞
図を使って説明します。辺ＤＣとのねじれの辺をすべて求めよ。

解法の手順
①同じ面にない。＝同じ面にあるものは、ねじれでない。
図では、辺ＣＢ、辺ＡＢ、辺ＡＤ、辺ＤＨ、辺ＨＥ、辺ＥＦ、辺ＧＦ

②平行でない。＝平行なものは、ねじれでない。
図では、辺ＥＦ

③交わらない。
残りの辺は、辺ＤＣと交わらない

よって、残った辺ＧＦ、辺ＢＦ、辺ＨＥ、辺ＡＥは、ねじれになる。
これらは、「①同じ面にない。②平行でない。③交わらない。」の3つのないです。

【問8】資料の活用の対策問題の解答

＜1＞
（1）10分
（2）0.40
（3）ア 25　/　イ 125　/　ウ 630　/　平均値 31.5分

＜2＞
(7.9+6.8+8.3+7.0+8.9+6.9+8.2)/7=7.71…よって、小数第2位を四捨五入して、7.7

このように、解くのが一般的ですが、基準値を定めて求めることもできます。今回の表を見ると、6.8～8.9の幅ですので、大体かつキリのいい数字の8を基準値としてみましょう。すると次のような式となります。
8+〈｛-0.1+（-1.2）+0.3+（-1）+0.9+（-1.1）+（0.2）}/7〉＝8-0.3＝7.7
-0.3は、-0.29を四捨五入。

今回の場合は、前者のやり方で構わないですが、身長など3ケタの数値になる場合などは、基準値を設けて計算した方が早い場合も少なくありません。

＜3＞
記録を順にならべると、　6.8、6.9、7.0、7.9、8.2、8.3、8.9となり真ん中にくるのが、7.9となります。よって中央値は、7.9です。

＜4＞
記録を順にならべると、　6、6、7、7、8、8、9、10となり、中央付近にあたる4番目と5番目の得点つまり、7と8の平均の7.5が中央値となります。（偶数個の場合）（真ん中左＋真ん中右）÷2と求めることができます。

＜5＞
表から3点が最小値、10点が最大値となり、範囲は、最大値ー最小値なので、10-3となり7です。

【問9】数量を文字式で表すの対策問題の解答

（1）96円
（2）215ｇ
（3）2400円
（4）33ｋｇ
（5）0.07ｘ
（6）-(2/3)a+100 ⇒-2分の3a+100
（7）100a
（8）ｘ：ｙ＝1：3
（9）ｘ：ｙ＝5：1　　
（10）2a+3b

割合と聞くだけで、アレルギー反応をおこす人がいますが、実は簡単です。
「の」＝「×」、「は」＝「＝」、「％」＝「100で割る」、「割」＝「10で割る」ということをおさえておけば解けます。

＜例題＞
（1）100円の2倍は、200円　　　
（式）100×2＝200　　
『の』＝『×』のことですよ。

（2）100円の20％は、20円　　　
（式）100×0.2＝20　　
『％』＝『100で割る』20％＝0.2ですね。

（3）100円の2割は、20円　　
（式）100×0.2＝20

（4）100円の20％引き（※）は、80円
（※）20％引き＝100％あるものから20％引いたことなので、80％と同じ　
＝100円の80％は、80円　　
（式）100×0.8＝80

（5）100円の20％増し（※）は、120円
（※）20％増し＝100％あるものから20％増やすことなので、120％と同じ　
＝100円の120％は、120円　
（式）100×1.2＝120

といった具合です。