中学3年生の数学でつまずきやすい単元の一つが「式による説明」、特に「整数の証明」です。「2で割り切れることを説明しなさい」「常に奇数になることを証明しなさい」といった問題に、どう式で答えればいいか悩む生徒も多いのではないでしょうか。この記事では、整数の証明に必要な考え方や式の立て方、よく出るパターンとその解き方をわかりやすく解説します。理解を深めるための練習問題も用意しているので、ぜひ最後までチェックしてください！
数の証明の出題パターン
数の証明は、2つのパターンがあります。
- 「～を計算した数と～を計算した数が等しい」ことの証明
- 「○の倍数であること（○で割り切れること）」の証明
の2つです。以下、詳しく説明していく。例題をそれぞれつけていますので、解いてみてください。最後には、入試レベルの問題をつけていますので、挑戦してみましょう。
「～を計算した数と～を計算した数が等しい」ことの証明
連続する3つの整数のうち、最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しいことを証明せよ。ただし、整数ｎを使って真ん中の数をｎとし、証明せよ。
例題（1）の解答・解説
真ん中の数がｎより、連続する3つの整数は、ｎ-1、ｎ、ｎ+1と表せる。
最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、
（ｎ－1）2+（ｎ－1）2－2
＝（ｎ2－2ｎ+1）＋（ｎ2＋2ｎ+1）－2
＝2ｎ2 …①
真ん中の整数の2乗の2倍は、
ｎ2×2
＝2ｎ2 …②
①②より最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しい
「○の倍数であること（○で割り切れること）」の証明
連続する3つの4の倍数において、最も大きい数と真ん中の数の和の2乗から最も小さい数と真ん中の数の和の2乗をひいた差は128で割り切れることを証明せよ。ただし、整数ｎを使って真ん中の数を4ｎとし、証明せよ。
例題（2）の解答・解説
整数ｎを使って真ん中の数を4ｎとすると、連続する3つの4の倍数は、4ｎ－4、4ｎ、4ｎ＋4と表せる。
ここでnは整数なので128ｎは、128×（整数）となり128で割り切れる。
2ケタの整数を使った証明の練習問題
十の位の数と一の位の数の和が3の倍数となる2けたの自然数は3の倍数になることを証明しなさい。なお、十の位の数をa、一の位の数をbとし、a＋b＝3m(mは整数)を利用し解きなさい。
2ケタの整数を使った証明の練習問題の解答・解説
2けたの自然数は、10a+b
=9a+a+b
=9a+3m
=3(3a+m)
ここで、（3a+m）は、整数なので、3（3a+m）は、
3×（整数）となり、3の倍数となる。
以上のように、パターンは2つです。カレンダーやブロックが用意された問題もありますが、その場合でも、どちらかの解法パターンになります。公立入試での出題率は50％といったところでしょうか。失点は許されないところです。
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