【中3数学】2学期中間テスト対策｜二次関数の重要問題まとめ【解答・解説付き】

中学3年生の数学で学ぶ「二次関数」は、高校数学にもつながる重要な単元です。特に、グラフの形や頂点・軸・変化の割合などの特徴をしっかり理解しておくことが大切です。本記事では、二次関数の基本から応用までをわかりやすく解説し、定期テストや入試対策に役立つ練習問題も紹介します。

2学期中間テスト対策問題

【問1】次の問いに答えなさい。答えは、次の関数の中からすべて選び、記号で答えよ。
（ア）y=-x² （イ）y=2x²　（ウ）y=-3x²　（エ）y=1/4x²

（1）ｙの値がつねに０以下である。
（2）グラフが関数y=3x²のグラフとｘ軸について対称である。
（3）グラフの開きがy=x² のグラフより大きい。

【問2】次の問いに答えなさい。
（1）関数ｙ＝－ｘ²で、ｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
（2）関数y=2x² について、ｘの値が1から5だけ増加するときの変化の割合を求めよ。
（3）関数y=ax² で、ｘが2から3まで増加するときの変化の割合が15であった。ａの値を求めよ。
（4）関数y=x² で、ｘがａからａ+1まで増加するときの変化の割合が7であった。ａの値を求めよ。
（5）y=x² において、ｘが2からaまで変化したときの変化の割合が5であった。ａの値を求めよ。
（6）ｘの値が２から４まで増加するとき，２つの関数ｙ＝ａｘ²とｙ＝５ｘの変化の割合が等しくなるようなａの値を求めなさい。
（7）関数ｙ＝ｘ²でｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合と，関数ｙ＝ａｘ²でｘの値が２から３まで増加するときの変化の割合が等しいとき，ａの値を求めなさい。
（8）高いところから物を自然に落とすとき、落ち始めてからｘ秒後までに落ちる距離をｙｍとすると、y=5x²という関係がある。落ち始めてから4秒後までの平均の速さを求めよ。

二次関数のグラフの特徴のポイント

1. 原点を通る（頂点は、原点である）
2. ｙ軸に対称
3. 放物線になる
4. a＞0のとき、上に開く。a＜0のとき、下に開く。
5. aの絶対値が大きくなるほど、開きはせまくなる。
6. aの絶対値が等しく、符号がことなる2つのグラフの組は、ｘ軸に対称。

二次関数のグラフここで差がつく

たとえば、y=2x²のとき、ｘ＜0の範囲では、ｙは減少し、x＞0の範囲では、ｙは増加する。

1次関数と2次関数のグラフの違い

2次関数の変化の割合のポイント

2次関数の場合、変化の割合の公式（変化の割合＝ｙの増加量/ｘの増加量）を文字で置き換えて解くことによって、もう1つの公式を得るこことができましたね。

ｙ＝ax2でｘがnからmまで増加するときの変化の割合は、

• 変化の割合＝a（n+m）

となる。

変化の割合

• 変化の割合＝ｙの増加量/ｘの増加量
• ｙの増加量＝変化の割合×ｘの増加量

ちなみに、1次関数は、直線であり、変化の割合は一定でした。また、傾きの加減で、変化の仕方の様子がわかることから、「傾き＝変化の割合」でした。

＜例題＞
ｙ＝2×2でｘが-2から5まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

＜解答＞
変化の割合＝a（n+m）＝2（-2+5）＝6

2学期中間テスト対策問題の解答

【問1】
(1)アとウ
(2)ウ
(3)エ

【問2】
（1）-4　（2）14（3）ａ＝3（4）ａ＝3（5）ａ＝3