高校入試数学の中でも確実に差がつく単元が「面積比」。公式を覚えているだけでは太刀打ちできず、図形の見方や比の扱い方が重要になります。この記事では、面積比の問題をスピーディーかつ正確に解ける“必殺技テクニック”を分かりやすく解説。どんな問題にも応用できる考え方を身につけましょう。
よく出題される面積比代表問題（応用問題）
下の図のように、ＡＢ＝8ｃｍ、ＢＣ＝12ｃｍ、ＡＣ＝15ｃｍの平行四辺形ＡＢＣＤがある。
∠Ｂの二等分線と辺ＣＤの延長との交点をＥとし、ＢＥとＡＤ、ＢＥとＡＣとの交点をそれぞれ、Ｆ、Ｇとする。次の問いに、答えよ。
（1）ＡＧ：ＡＣをもっとも、簡単な整数の比で表せ。
（2）ＡＦの長さを求めよ。
（3）三角形ＢＣＧと平行四辺形ＡＢＣＤの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
（4）ＥＦ：ＦＧを最も簡単な整数の比で表せ。
よく出題される面積比代表問題（応用問題）の解答
（1）2：5
角の二等分線定理より、ＡＢ：ＢＣ＝ＡＧ：ＧＣ＝8：12＝2：3
ＡＧ＝15ｃｍ×2/5＝6ｃｍ よって、ＡＧ：ＡＣ＝6：15＝2：5
（2）8
砂時計型の相似より、求めるＡＦ＝ｘｃｍとすると、ＡＦ：ＢＣ＝ＡＧ：ＧＣ＝ｘ：12＝2：3なので、ｘ＝8となり、ＡＦ＝8
（3）3：10
ＦとＣを結ぶ
角の二等分線定理より、ＡＧ：ＧＣ＝ＡＦ：ＧＣ＝2：3なので、それぞれの面積比は、面積シリ-ズ秘技を利用し図示のようになる。
よって、
三角形ＢＣＧ：平行四辺形ＡＢＣＤ＝9：30＝3：10
（4）5：4
今回は、上の図を利用することにより、ＥＦ：ＦＧ＝5：4
とりわけ、近年の傾向として、平面図形の総合問題（大問）は、相似のかくれんぼを筆頭に、角の二等分線定理や面積比の利用、比合わせは、学んでおくべきテーマです。さらには、補助線を引くことで、簡単に解けてしまう問題の出題が多いということも頭に入れておかなければなりません。余裕がある人は、相似の証明のほか、平行になることの証明、平行四辺形・二等辺三角形になることの証明なども復習しておいたほうがいいでしょう。
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